Question

12．{a_n}是等差数列，{b_n}是等比数列，T_n是{b_n}的前n项和，a₁=b₁=1，且满足$\sqrt{{a_2}+2}+\sqrt{{b_2}-2}=2\sqrt{2}$，当a₂+b₂取最小值时，
（1）求T_n；
（2）S_n是{|a_n|}的前n项和，求S_n．

Answer 1

分析 利用柯西不等式（a₂+2+b₂-2）（1+1）≥（$\sqrt{{a}_{2}+2}+\sqrt{{b}_{2}-2}$）²=8，可得（a₂+b₂）_min=4，此时a₂+2=b₂-2，可得a₂，b₂，及等比数列{b_n}的公比，等差数列{a_n}的公差
（1）直接用公式求T_n
（2）|a₁|=1，n≥2时，|a_n|=n-2，再求S_n．

解答 解：利用柯西不等式（a₂+2+b₂-2）（1+1）≥（$\sqrt{{a}_{2}+2}+\sqrt{{b}_{2}-2}$）²=8，
∴（a₂+b₂）_min=4，此时a₂+2=b₂-2，a₂=0，b₂=4，
∴等比数列{b_n}的公比为4，等差数列{a_n}的公差为-1
（1）T_n=$\frac{1×（1-{4}^{n}）}{1-4}=\frac{1}{3}（{4}^{n}-1）$
（2）|a₁|=1，n≥2时，|a_n|=n-2，{|a_n|}的前n项和S_n，
S_n=$\left\{\begin{array}{l}{1\\;\\;（n=1）}\\{1+\frac{（n-1）（0+n-2）}{2}=\frac{{n}^{2}-3n+4}{2}\\;（n≥2）}\end{array}\right.$

点评 .本题考查了等差、等比数列的通项及性质，求和公式，属于中档题．