Question

9．在平面直角坐标系中，点P为椭圆$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1上的一个动点，则点P到直线x-y+6=0的最大距离为4$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由设P（$\sqrt{3}$cosx，sinx），则点P到直线x-y+6=0的距离d=$\frac{丨\sqrt{3}cosθ-sinθ+6丨}{\sqrt{{1}^{2}+（-1）^{2}}}$=$\frac{丨2cos（\frac{π}{6}+θ）+6丨}{\sqrt{2}}$，利用余弦定理的性质，即可求得点P到直线x-y+6=0的最大距离．

解答 解：由题意可知：设P（$\sqrt{3}$cosx，sinx），则点P到直线x-y+6=0的距离d=$\frac{丨\sqrt{3}cosθ-sinθ+6丨}{\sqrt{{1}^{2}+（-1）^{2}}}$=$\frac{丨2cos（\frac{π}{6}+θ）+6丨}{\sqrt{2}}$，
由-1≤cos（θ+$\frac{π}{6}$）≤1，则4≤2cos（θ+$\frac{π}{6}$）+6≤8，
∴2$\sqrt{2}$≤d≤4$\sqrt{2}$，
∴点P到直线x-y+6=0的最大距离为4$\sqrt{2}$，
故答案为：4$\sqrt{2}$．

点评 本题考查椭圆的参数方程，点到直线的距离公式，余弦函数的最值，考查计算能力，属于中档题．