Question

17．如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若$\overrightarrow{AM}=m\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AN}=n\overrightarrow{AC}（{mn＞0}）$，则m+n的取值范围为[2，+∞）．

Answer 1

分析 由三点共线时，以任意点为起点，这三点为终点的三向量，其中一向量可用另外两向量线性表示，其系数和为1得到$\frac{1}{2m}$+$\frac{1}{2n}$=1，然后利用基本不等式求最值

解答 解：∵△ABC中，点O是BC的中点，
∴$\overrightarrow{AO}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$），
∵$\overrightarrow{AM}=m\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AN}=n\overrightarrow{AC}（{mn＞0}）$，
∴$\overrightarrow{AO}$=$\frac{1}{2m}$$\overrightarrow{AM}$+$\frac{1}{2n}$$\overrightarrow{AN}$，
又∵O，M，N三点共线，
∴$\frac{1}{2m}$+$\frac{1}{2n}$=1，
∴m+n=$\frac{1}{2}$（m+n）（$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$）=$\frac{1}{2}$（2+$\frac{n}{m}$+$\frac{m}{n}$）≥$\frac{1}{2}$（2+2$\sqrt{\frac{m}{n}•\frac{n}{m}}$）=2，当且仅当m=n=1时取等号，
故m+n的取值范围为[2，+∞），
故答案为：[2，+∞）

点评 本题考查了共线向量基本定理的应用，考查了利用基本不等式求最值，关键是“1”的用法，是中档题．