Question

11．如图，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是平行四边形，且AA₁⊥底面ABCD，AB=2，AA₁=BC=4，∠ABC=60°，点E为BC中点，点F为B₁C₁中点．
（Ⅰ）求证：平面A₁ED⊥平面A₁AEF；
（Ⅱ）求三棱锥F-A₁ED与F-A₁D₁D的体积之比；
（Ⅲ）求直线AD与平面A₁ED所成的角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知中AB=2，BC=4，∠ABC=60°，点E为BC中点，我们易得到∠AEB=60°，∠CED=30°，进而得到AE⊥ED，又由AA₁⊥底面ABCD，得AA₁⊥ED，结合线面垂直的判定定理得到ED⊥平面AA₁EF，再由面面垂直的判定定理，即可得到平面A₁ED⊥平面A₁AEF；
（Ⅱ）分别求出体积，即可求三棱锥F-A₁ED与F-A₁D₁D的体积之比；
（Ⅲ）利用等体积，求出A到平面A₁ED的距离，即可求直线AD与平面A₁ED所成的角的正弦值．

解答 （Ⅰ）证明：∵AB=2，BC=4，∠ABC=60°，点E为BC中点，
∴△ABC为等边三角形，∠AEB=60°
△CDE中，∠CED=30°
∴AE⊥ED
∵AA₁⊥底面ABCD，
∴AA₁⊥ED，
又由AE∩AA₁=A
∴ED⊥平面AA₁EF
又∵ED?平面A₁ED
∴平面A₁ED⊥平面A₁AEF；
（Ⅱ）解：∵AB=2，BC=4，∠ABC=60°，点E为BC中点，
∴ED=2$\sqrt{3}$，AE=2，∴DE⊥AE，
∴三棱锥F-A₁ED的体积为$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×4×2\sqrt{3}$=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，
三棱锥F-A₁D₁D的体积为$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×4×4×\sqrt{3}$=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，
∴三棱锥F-A₁ED与F-A₁D₁D的体积之比是1：1；
（Ⅲ）解：△A₁ED的面积为$\frac{1}{2}×\sqrt{16+4}×2\sqrt{3}$=$\sqrt{60}$，
设A到平面A₁ED的距离为h，则由等体积可得$\frac{1}{3}×\sqrt{60}h$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×4×\sqrt{3}×4$，
∴h=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
∴直线AD与平面A₁ED所成的角的正弦值=$\frac{\frac{\sqrt{5}}{5}}{2}$=$\frac{\sqrt{5}}{10}$．

点评 本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，棱锥的体积，其中根据AB=2，AA₁=BC=4，∠ABC=60°，点E为BC中点，结合等腰三角形性质，得到AE⊥ED，是解答本题的关键．