Question

19．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立坐标系．已知曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ．直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}t+2}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）．
（1）求曲线C和直线l的普通方程方程；
（2）设曲线C和直线l相交于A，B两点，求弦长|AB|．

Answer 1

分析 （1）曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ，即ρ²=2ρcosθ，利用互化公式可得直角坐标方程．直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}t+2}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），消去参数可得普通方程．
（2）利用点到直线的距离公式可得：圆心C到直线l的距离d．利用|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$即可得出弦长．

解答 解：（1）曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ，即ρ²=2ρcosθ，
利用互化公式可得直角坐标方程：x²+y²=2x，配方为：（x-1）²+y²=1，可得圆心C（1，0），半径r=1．
直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}t+2}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），消去参数可得普通方程：x-y-2=0．
（2）圆心C到直线l的距离d=$\frac{|1-0-2|}{\sqrt{2}}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$．
∴|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$=2$\sqrt{1-（\frac{1}{\sqrt{2}}）^{2}}$=$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了参数方程与普通方程的互化、极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、直线与圆相交弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．