Question

3．已知角α始边与x轴正半轴重合，终边过直线ax+y+a+3=0与圆x²+y²=1的切点，则sin2α等于（　　）

• A． -$\frac{24}{25}$
• B． -$\frac{5}{13}$
• C． $\frac{5}{13}$
• D． $\frac{24}{25}$

Answer 1

分析 由已知条件和点到直线的距离公式求出a的值，然后联立$\left\{\begin{array}{l}{4x-3y+5=0}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，解得x，y的值，进一步求出sinα，cosα，再根据二倍角的正弦公式即可求出sin2α的值．

解答 解：∵直线ax+y+a+3=0与圆x²+y²=1相切，
∴圆心（0，0）到直线的距离d=r，即$\frac{|a+3|}{\sqrt{{a}^{2}+1}}=1$，
解得：a=$-\frac{4}{3}$．
直线ax+y+a+3=0即$-\frac{4}{3}x+y-\frac{4}{3}+3=0$，得4x-3y+5=0．
联立$\left\{\begin{array}{l}{4x-3y+5=0}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{4}{5}}\\{y=\frac{3}{5}}\end{array}\right.$．
∴x=$-\frac{4}{5}$，y=$\frac{3}{5}$，r=|OP|=1．
∴sinα=$\frac{y}{r}$=$\frac{3}{5}$，cosα=$\frac{x}{r}=-\frac{4}{5}$．
则sin2α=2sinαcosα=$2×\frac{3}{5}×（-\frac{4}{5}）=-\frac{24}{25}$．
故选：A．

点评 本题主要考查任意角的三角函数的定义，点到直线的距离公式的应用，二倍角的正弦公式，属于基础题．