Question

2．如图，在四面体ABCD中，CB=CD，AD⊥平面BCD，且E是BD的中点，求证：
（1）平面ACE⊥平面ABD；
（2）若CD=$\sqrt{2}$，AD=3，CB⊥CD，求二面角C-AB-D的正切值．

Answer 1

分析 （1）推导出CE⊥AD，CE⊥BD，由此能证明平面ACE⊥平面ABD．
（2）以C为原点，CB为x轴，CD为y轴，过C作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C-AB-D的正切值．

解答 证明：（1）∵AD⊥平面BCD，CE?平面BCD，
∴CE⊥AD，
∵CB=CD，E是BD的中点，∴CE⊥BD，
∵AD∩BD=D，∴CE⊥平面ABD，
∵CE?平面ACE，∴平面ACE⊥平面ABD．
解：（2）∵CD=$\sqrt{2}$，AD=3，CB⊥CD，CB=CD，AD⊥平面BCD，
∴以C为原点，CB为x轴，CD为y轴，过C作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，
C（0，0，0），B（$\sqrt{2}$，0，0），
A（0，$\sqrt{2}$，3），D（0，$\sqrt{2}$，0），
$\overrightarrow{CB}$=（$\sqrt{2}$，0，0），$\overrightarrow{CD}$=（0，$\sqrt{2}$，0），$\overrightarrow{AB}$=（$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$，-3），$\overrightarrow{AD}$=（0，0，-3），
设平面ABC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=\sqrt{2}x-\sqrt{2}y-3z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CB}=\sqrt{2}x=0}\end{array}\right.$，取y=3$\sqrt{2}$，得$\overrightarrow{n}$=（0，3$\sqrt{2}$，-2），
设平面ABD的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AB}=\sqrt{2}x-\sqrt{2}y-3z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AD}=-3z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，1，0），
设二面角C-AB-D的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{22}•\sqrt{2}}$=$\frac{3}{\sqrt{22}}$，sinθ=$\sqrt{1-（\frac{3}{\sqrt{22}}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{22}}$，
∴tanθ=$\frac{sinθ}{cosθ}$=$\frac{\sqrt{13}}{3}$．
∴二面角C-AB-D的正切值为$\frac{\sqrt{13}}{3}$．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查二面角的正切值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．