Question

2．直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，AB=2，AC=4，AA₁=2，D为BC的中点．则直线DB₁与平面A₁C₁D所成角的正弦值$\frac{4}{15}\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 分别以AB，AC，AA₁所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线DB₁与平面A₁C₁D所成角的正弦值．

解答 解：分别以AB，AC，AA₁所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．
则A（0，0，0），B（2，0，0），
C（0，4，0），A₁（0，0，2），B₁（2，0，2），
C₁（0，4，2），
∵D为BC的中点，∴D（1，2，0），
$\overrightarrow{D{B}_{1}}$=（1，-2，2），$\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}$（0，4，0），$\overrightarrow{{A}_{1}D}$=（1，2，-2），
设平面A₁C₁D的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{4y=0}\\{x+2y-2z=0}\end{array}\right.$，取x=2，
得$\overrightarrow{n}$=（2，0，1），
又cos＜$\overrightarrow{D{B}_{1}}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{4}{3\sqrt{5}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{15}$，
∴直线DB₁与平面A₁C₁D所成角的正弦值为$\frac{4}{15}\sqrt{5}$．
故答案为：$\frac{4}{15}\sqrt{5}$．

点评 本题考查线面角的正弦值的求法，考查向量法的合理运用，正确求出平面的法向量是关键．