Question

13．已知函数f（x）=x+（1-a）lnx+$\frac{a}{x}$（a∈R）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若存在x₀∈[1，e]，使得f（x₀）≤2成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间；（2）通过讨论a的范围，得到关于a的不等式，结合函数的单调性求出a的具体范围即可．

解答 解：（1）f（x）=x+（1-a）lnx+$\frac{a}{x}$，（x＞0），
f′（x）=1-$\frac{a-1}{x}$-$\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{（x-a）（x+1）}{{x}^{2}}$，
①a≤0时，f′（x）≥0，f（x）递增；
②a＞0时，令f′（x）＞0，解得：x＞a，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜a，
∴f（x）在（0，a）递减，在（a，+∞）递增；
（2）由题意得：函数f（x）在[1，e]上的最小值是f（x）_min≤2，
由（1）得①a≥e时，f（x）在[1，e]递减，
∴[f（x）]_min=f（e）=e+1-a+$\frac{a}{e}$≤2，解得：a≥e，
②a≤1时，f（x）在[1，e]递增，
∴[f（x）]_min=f（1）=1+a≤2，解得：a≤1；
③1＜a＜e时，f（x）在（1，a）递减，在（a，e）递增，
∴[f（x）]_min=f（a）=a+）1-a）lna+1≤2，无解；
综上，a的范围是（-∞，1]∪[e，+∞）．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．