题目内容

已知函数f（x）=5sinxcosx-5
3
cos2x+
5
3
2
．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间，并求出f（x）在[
π
3
，
5π
6
]上的最大值与最小值．
考点：复合三角函数的单调性,二倍角的正弦
专题：三角函数的求值
分析：（Ⅰ）由三角函数公式化简可得f（x）=5sin(2x-
π
3
)，易得最小正周期；
（Ⅱ）由-
π
2
+2kπ≤2x-
π
3
≤
π
2
+2kπ解不等式可得f（x）的递增区间，由
π
3
≤x≤
5π
6
，可得
π
3
≤2x-
π
3
≤
4π
3
，进而求三角函数可得最值．
解答： 解：（Ⅰ）化简可得f（x）=5sinxcosx-5
3
cos2x+
5
3
2

=
5
2
sin2x-5
3
1+cos2x
2
+
5
3
2
=
5
2
sin2x-5
3
cos2x=5(sin2xcos
π
3
-cos2xsin
π
3
)=5sin(2x-
π
3
)
∴最小正周期T=
2π
2
=π
（Ⅱ）由-
π
2
+2kπ≤2x-
π
3
≤
π
2
+2kπ得-
π
12
+kπ≤x≤
5π
12
+kπ(k∈Z)，
∴f（x）的递增区间是[-
π
12
+kπ，
5π
12
+kπ](k∈Z)，
∵
π
3
≤x≤
5π
6
，∴
π
3
≤2x-
π
3
≤
4π
3
，
∴f(x)min=-
5
3
2
，f(x)max=5．
点评：本题考查三角函数的周期性和单调性以及最值，属基础题．
练习册系列答案
相关题目
计算：2log32-2log3
32
9
．
若函数f（x）是定义域D内的某个区间I上的增函数，且F（x）=
f(x)
x
在I上是减函数，则称y=f（x）是I上的“非完美增函数”，已知f（x）=lnx，g（x）=2x+
2
x
+alnx（a∈R）
（1）判断f（x）在（0，1]上是否是“非完美增函数”；
（2）若g（x）是[1，+∞）上的“非完美增函数”，求实数a的取值范围．
已知x＞1，y＞2，x+y=15，则函数z=（x-1）（y-2）的最大值为
 
．
函数f（x）=sinπx+cosπx对任意的x∈R都有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则|x2-x1|的最小值为（　　）
A、
1
2
B、1
C、2
D、4
已知函数f（x）定义域为R，且对任意实数x，y满足f（x+y）=f（x）f（y），给出以下四个结论：
①若f（1）=2，则f（3）=8；
②若对任意x，恒有f（x）=c，其中c为常数，则c=0；
③若存在x0，使得f（x0）=0，则对任意x，恒有f（x）=0；
④若存在x0，使得f（x0）≠0，则对任意x，恒有f（x）＞0；
其中正确的是
 
（只用填上正确选项的序号）
已知函数y=
mx2+6mx+m+8
的定义域为R，求实数m的取值范围．
已知函数f（x）=
log3x，x＞0
2x
，x≤0
，则f(f(
1
27
))=
 
．
设x，y∈R，向量
a
=(x，1，0)，
b
=(1，y，0)，
c
=(2，-4，0)且
a
⊥
c
，
b
∥
c
，则|
a
+
b
|=（　　）
A、
5
B、
10
C、2
5
D、10

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网