Question

若函数f（x）是定义域D内的某个区间I上的增函数，且F（x）=

f(x)

x

在I上是减函数，则称y=f（x）是I上的“非完美增函数”，已知f（x）=lnx，g（x）=2x+

2

x

+alnx（a∈R）
（1）判断f（x）在（0，1]上是否是“非完美增函数”；
（2）若g（x）是[1，+∞）上的“非完美增函数”，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,奇偶性与单调性的综合

专题：导数的综合应用

分析：（1）依据“非完美增函数”的定义判断即可；
（2）由题意可得g（x）在[1，+∞）上为增函数，G（x）=

g(x)

x

=2+

2

x2

+

alnx

x

在[1，+∞）上是减函数，利用导数研究函数的单调性，即可求得结论．

解答： 解：（1）由于f（x）=lnx，在（0，1]上是增函数，且F（x）=

f(x)

x

=

lnx

x

，
∵F′（x）=

1-lnx

x2

，∴当x∈（0，1]时，F′（x）＞0，F（x）为增函数，
∴f（x）在（0，1]上不是“非完美增函数”；
（2）∵g（x）=2x+

2

x

+alnx，
∴g′（x）=2-

2

x2

+

a

x

=

2x2+ax-2

x2

，
∵g（x）是[1，+∞）上的“非完美增函数”，
∴g′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，
∴g′（1）≥0，∴a≥0，
又G（x）=

g(x)

x

=2+

2

x2

+

alnx

x

在[1，+∞）上是减函数，
∴G′（x）≤0在[1，+∞）恒成立，即-

4

x3

+

a(1-lnx)

x2

≤0在[1，+∞）恒成立，
即ax-axlnx-4≤0在[1，+∞）恒成立，
令p（x）=ax-axlnx-4，则p′（x）=-alnx≤0恒成立（∵a≥0，x≥1），
∴p（x）=ax-axlnx-4在[1，+∞）上单调递减，
∴p（x）_max=p（1）=a-4≤0，解得：a≤4；
综上所述0≤a≤4．

点评：本题以新定义的形式考查函数的单调性，考查运用所学知识分析解决新问题的能力．