Question

设[x]表示不超过x的最大整数，如[1.4]=1，[-1.1]=-2，若函数f（x）=

1-ex

1+ex

，则函数g（x）=[f（x）]+[f（-x）]的值域为

 

．

Answer 1

考点：函数的值域

专题：新定义,函数的性质及应用

分析：分别求出函数f（x）和f（-x）的值域，利用[x]的定义，求[f（x）]，[f（-x）]的值域，再相加．

解答： 解：∵f（x）=

1-ex

1+ex

=

2

1+ex

-1，
∴当x＞0时，1+e^x＞2，-1＜f（x）＜0，∴[f（x）]=-1；
当x＜0时，1＜1+e^x＜2，0＜f（x）＜1，∴[f（x）]=0；
当x=0时，f（x）=0，[f（x）]=0；
∵f（-x）=

1-e-x

1+e-x

=

ex-1

ex+1

=1-

2

1+ex

，
∴当x＞0时，1+e^x＞2，0＜f（-x）＜1，∴[f（x）]=0；
当x＜0时，1＜1+e^x＜2，-1＜f（-x）＜0，∴[f（x）]=-1；
当x=0时，f（-x）=0，[f（x）]=0；
综上，当x=0时，g（x）=[f（x）]+[f（-x）]=0，
当x＞0时，g（x）=[f（x）]+[f（-x）]=-1+0=-1，
当x＜0时，g（x）=[f（x）]+[f（-x）]=0-1=-1；
∴g（x）的值域是{0，-1}．
故答案为：{0，-1}．

点评：本题考查函数的新定义应用问题，解题时应深刻理解函数的新定义，利用指数函数的单调性求函数的值域，是解答问题的关键，是中档题．