Question

已知函数f（x）=x²+

3

2

x-6．
（1）求函数g（x）=xf（x）的极大值；
（2）求过点A（2，-24）且与曲线y=x[f（x）-

3

2

x-6]相切的切线方程．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的极值

专题：综合题,导数的概念及应用

分析：（1）求导数，确定函数的单调性，可求函数g（x）=xf（x）的极大值；
（2）设出曲线过点A切线方程的切点坐标，把切点的横坐标代入，可得切线的斜率，根据切点坐标和表示出的斜率，即可求出切线的方程．

解答： 解：（1）g′（x）=[xf（x）]′=3（x-1）（x+2），
由g′（x）＞0可得x＜-2或x＞1；由g′（x）＜0可得-2＜x＜1，
∴x=-2时，函数取得极大值10；
（2）设切点为（a，b），则
∵y=x[f（x）-

3

2

x-6]=x³-12x，
∴y′=3x²-12，
∴过点A（2，-24）的切线方程为y+24=（x-2）（3a²-12）
将（a，b）代入，化简可得2a³-6a²=0，
∴a=0或a=3，
∴切线方程为y=-12或y=15x-54．

点评：此题考查学生会利用导数研究曲线上某点的切线方程，是一道综合题．学生在解决此类问题一定要分清“在某点处的切线”，还是“过某点的切线”；同时解决“过某点的切线”问题，一般是设出切点坐标解决．