Question

已知函数f（x）=log₂

x+2

x-2

，g（x）=log₂（x-2）+log₂（p-x）（p＞2）．
（1）求使f（x）与g（x）同时有意义的实数x的取值范围；
（2）若p＞6，求函数F（x）=f（x）+g（x）的最大值．

Answer 1

考点：对数函数的图像与性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据对数函数的定义即可求出取值范围，
（2）先根据对数运算性质，得到F（x）=log₂（x+2）（p-x），再根据对数函数的单调性，根据复合函数的单调性，求出最值．

解答： 解：（1）∵f（x）=log₂

x+2

x-2

，
∴

x+2

x-2

＞0，
解得x＜-2，或x＞2，
∵g（x）=log₂（x-2）+log₂（p-x）（p＞2）．
∴

x-2＞0 p-x＞0

，
解得2＜x＜p，
∵使f（x）与g（x）同时有意义，
∴实数x的取值范围为（2，p）；
（2）∵F（x）=f（x）+g（x）=log₂

x+2

x-2

+log₂（x-2）+log₂（p-x）=log₂（x+2）（p-x），
设u=（x+2）（p-x）=-（x-

p-2

2

）²+

(p+2)2

4

，
抛物线的对称轴是x=

p-2

2

，
∵当p＞6时，x=

p-2

2

＞2，
∴F（x）_max=F（

p-2

2

）=log₂

(p+2)2

4

点评：本题主要考查了对数函数的定义和性质，以及复合函数的单调求函数的最值，属于中档题．