Question

14．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．
（1）证明：BE∥面APD；
（2）证明BE⊥CD；
（3）求三棱锥P-BDE的体积．

Answer 1

分析 （1）取PD中点F，连接AF，EF，可得四边形ABEF是平行四边形，即可的BE∥AF，BE∥面PAD；
（2）可得PA⊥DC．CD⊥面PAD，即AF⊥DC，且AF∥BE，得BE⊥CD；
（3）点E为棱PC的中点，PA⊥底面ABCD，${V_{P-BDE}}={V_{B-PDE}}=\frac{1}{2}{V_{B-PDC}}=\frac{1}{2}{V_{P-BDC}}=\frac{1}{6}{S_{△BDC}}．PA=\frac{2}{3}$．

解答 证明：（1）取PD中点F，连接AF，EF，
∵E，F分别是PC，PD的中点，
∴$EF∥CD，EF=\frac{1}{2}CD$∵$AB∥CD，AB=\frac{1}{2}CD$，
∴EF∥AB，EF=AB∴四边形ABEF是平行四边形，
∴BE∥AF，又BE?面PAD，AF?面PAD∴BE∥面PAD，
（2  由PA⊥面ABCD，DC?面ABCD，∴PA⊥DC．
$\begin{array}{l}又∵AD⊥DC$，∴$DC⊥面PAD\\∴DC⊥AF$，∴AF⊥DC，且AF∥BE，
∴BE⊥CD；
（3）∵点E为棱PC的中点，PA⊥底面ABCD，
∴${V_{P-BDE}}={V_{B-PDE}}=\frac{1}{2}{V_{B-PDC}}=\frac{1}{2}{V_{P-BDC}}=\frac{1}{6}{S_{△BDC}}．PA=\frac{2}{3}$．

点评 本题考查了空间线面平行、线线垂直的判定，考查了等体积法求体积，属于中档题．