Question

3．已知函数f（x）=4sinxcos（x+$\frac{π}{3}$）+m（x∈R，m为常数），其最大值为2．
（Ⅰ）求实数m的值；
（Ⅱ）若f（α）=-$\frac{4\sqrt{3}}{5}$（-$\frac{π}{4}$＜α＜0），求cos2α的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用二倍角和两角和与差以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，求出最大值，令其等于2，可得实数m的值．
（Ⅱ）f（α）=-$\frac{4\sqrt{3}}{5}$（-$\frac{π}{4}$＜α＜0）带入计算，找出等式关系，利用二倍角公式求解即可．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=4sinxcos（x+$\frac{π}{3}$）+m（x∈R，m为常数），
化简可得：f（x）=4sinxcosxcos$\frac{π}{3}$-4sin²xsin$\frac{π}{3}$+m=sin2x-2$\sqrt{3}$sin²x+m
=sin2x+$\sqrt{3}$cos2x-$\sqrt{3}$+m=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$+m
∵最大值为2．
即2-$\sqrt{3}$+m=2，
可得m=$\sqrt{3}$．
（Ⅱ）由f（α）=-$\frac{4\sqrt{3}}{5}$（-$\frac{π}{4}$＜α＜0），即2sin（2α+$\frac{π}{3}$）=$-\frac{4\sqrt{3}}{5}$．
∴sin（2α+$\frac{π}{3}$）=$-\frac{2\sqrt{3}}{5}$
∵-$\frac{π}{4}$＜α＜0
∴$-\frac{π}{6}$＜2α+$\frac{π}{3}$＜$\frac{π}{3}$．
∴cos（2α+$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{13}}{5}$；
那么cos2α=cos[（2α$+\frac{π}{3}$）$-\frac{π}{3}$]=cos（2α+$\frac{π}{3}$）cos$\frac{π}{3}$+sin（2α+$\frac{π}{3}$）sin$\frac{π}{3}$=$\frac{\sqrt{13}-6}{10}$．

点评 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质，以及二倍角的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于中档题．