Question

5．小明从家到学校有三个路口，各路口遇到红灯的概率依次为$\frac{3}{4}$，$\frac{4}{5}$，$\frac{1}{2}$，且每个路口遇到红灯与否相互独立．
（1）求最多遇到1次红灯的概率；
（2）设小明上学路上求遇到红灯次数为X，求X的分布列及期望．

Answer 1

分析 （1）设A_i：第i个路口遇到红灯（i=1，2，3），最多遇到1次红灯为A事件，由$P（A）=P（\overline{A_1}\overline{A_2}\overline{A_3}）+P（{A_1}\overline{A_2}\overline{A_3}）+P（\overline{A_1}{A_2}\overline{A_3}）+P（\overline{A_1}\overline{A_2}{A_3}）$，能求出最多遇到1次红灯的概率．
（2）依题意，X的可能取值为0，1，2，3．分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和EX．

解答 解：（1）设A_i：第i个路口遇到红灯（i=1，2，3）
最多遇到1次红灯为A事件，
则$P（A）=P（\overline{A_1}\overline{A_2}\overline{A_3}）+P（{A_1}\overline{A_2}\overline{A_3}）+P（\overline{A_1}{A_2}\overline{A_3}）+P（\overline{A_1}\overline{A_2}{A_3}）$
=（1-$\frac{3}{4}$）（1-$\frac{4}{5}$）（1-$\frac{1}{2}$）+$\frac{3}{4}（1-\frac{4}{5}）（1-\frac{1}{2}）$+（1-$\frac{3}{4}$）×$\frac{4}{5}×（1-\frac{1}{2}）$+$（1-\frac{3}{4}）（1-\frac{4}{5}）×\frac{1}{2}$=$\frac{9}{40}$．
（2）依题意，X的可能取值为0，1，2，3．
$P（X=0）=P（\overline{A_1}\overline{A_2}\overline{A_3}）=\frac{1}{40}$，
$P（X=1）=P（{A_1}\overline{A_2}\overline{A_3}）+P（\overline{A_1}{A_2}\overline{A_3}）+P（\overline{A_1}\overline{A_2}{A_3}）=\frac{1}{5}$，
$P（X=2）=P（{A_1}{A_2}\overline{A_3}）+P（{A_1}\overline{A_2}{A_3}）+P（\overline{A_1}{A_2}{A_3}）=\frac{19}{40}$，
$P（X=3）=P（{A_1}{A_2}{A_3}）=\frac{3}{10}$，
随机变量X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{40}$	$\frac{1}{5}$	$\frac{19}{40}$	$\frac{3}{10}$

EX=$0×\frac{1}{40}+1×\frac{1}{5}+2×\frac{19}{40}+3×\frac{3}{10}$=$\frac{41}{20}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意对立事件概率公式、相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式的合理运用．