Question

10．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，且BD：DC：AD=2：3：6
（1）求∠BAC的大小；
（2）若E在AC上，且AC=3AE．已知△ABC的面积为15，求BE的长．

Answer 1

分析 （1）由题意和直角三角形中正切函数求出tan∠BAD、tan∠CAD，利用两角和的正切函数求出tan∠BAD的值，由∠BAC的范围和特殊角的正切值求出∠BAC；
（2）设BD=2t（t＞0）则DC=3t，AD=6t，由△ABC的面积列出方程求出t，由勾股定理求出AC、AB，再求出BE，在△ABE中由余弦定理求出BE的值．

解答 解：（1）∵BD：DC：AD=2：3：6，AD⊥BC，
∴$tan∠BAD=\frac{BD}{AD}=\frac{1}{3}$，$tan∠CAD=\frac{CD}{AD}=\frac{1}{2}$，
则$tan∠BAC=tan（∠BAD+∠CAD）=\frac{{\frac{1}{3}+\frac{1}{2}}}{{1-\frac{1}{3}×\frac{1}{2}}}=1$，
又∠BAC∈（0，π），则$∠BAC=\frac{π}{4}$；
（2）设BD=2t（t＞0），则DC=3t，AD=6t，
∵△ABC的面积为15，
∴$\frac{1}{2}×5t×6t$=15t²=15，解得t=1，
则BD=2，DC=3，AD=6，
∴AC=$\sqrt{A{D}^{2}+D{C}^{2}}$=$3\sqrt{5}$，$AB=2\sqrt{10}$，
由AC=3AE得，$AE=\frac{1}{3}AC=\sqrt{5}$，
在△ABE中，由余弦定理得BE²=AB²+AE²-2AB•AE•cos∠A
=40+5-2×$2\sqrt{10}×\sqrt{5}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=25，解得BE=5．

点评 本题考查余弦定理、勾股定理，两角和的正切函数公式等应用，注意角的范围，属于中档题．