Question

13．已知函数f（x）=（$\frac{1}{3}$）^x，
（1）当x∈[-1，1]时，求函数y=[f（x）]²-2af（x）+3的最小值g（a）；
（2）是否存在实数m＞n＞3，使得g（x）的定义域为[n，m]，值域为[n²，m²]？若存在，求出m、n的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由x的范围和指数函数的单调性，求出f（x）的值域，利用配方法化简y=[f（x）]²-2af（x）+3，根据一元二次函数的性质对a进行分类讨论，由单调性求出最小值即可；
（2）假设存在满足题意的m、n，由一次函数的单调性和题意列出方程组，化简后由m＞n＞3判断出结论不成立．

解答 解：（1）∵x∈[-1，1]，∴f（x）=（$\frac{1}{3}$）^x∈[$\frac{1}{3}$，3]，…（1分）
y=[f（x）]²-2af（x）+3=[（$\frac{1}{3}$）^x]²-2a（$\frac{1}{3}$）^x+3
=[（$\frac{1}{3}$）^x-a]²+3-a²，…（3分）
由一元二次函数的性质分三种情况：
当a＜$\frac{1}{3}$时，y_min=g（a）=$\frac{28}{9}$-$\frac{2a}{3}$；…（5分）
当$\frac{1}{3}$≤a≤3时，y_min=g（a）=3-a²；…（6分）
当a＞3时，y_min=g（a）=12-6a…（7分）
∴g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{28}{9}-\frac{2a}{3}（a＜\frac{1}{3}）}\\{3-{a}^{2}（\frac{1}{3}≤a≤3）}\\{12-6a（a＞3）}\end{array}\right.$…（8分）
（2）假设存在满足题意的m、n，
∵m＞n＞3，且g（x）=12-6x在 （3，+∞）上是减函数…（9分）
又g（x）的定义域为[n，m]，值域为[n²，m²]．
∴$\left\{\begin{array}{l}{12-6m={n}^{2}}\\{12-6n={m}^{2}}\end{array}\right.$     …（10分）
两式相减得：6（m-n）=（m+n）（m-n），
∵m＞n＞3，∴m+n=6，但这与“m＞n＞3”矛盾…（11分）
∴满足题意的m、n不存在…（12分）．

点评 本题考查了指数函数的单调性，以及一元一次、一元二次函数的性质的应用，考查配方法、分类讨论思想．