Question

13．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且2acosB=bcosC+ccosB．
（1）求角B的大小；
（2）若b=2，a+c=4，求a和c的值．

Answer 1

分析 （1）由已知及正弦定理得：sinA=2sinAcosB，又0＜A＜π．可求cosB=$\frac{1}{2}$，结合范围0＜B＜π，即可求B的值．
（2）由已知及余弦定理可求ac=4，联立a+c=4，从而解得a，c的值．

解答 解：（1）在△ABC中，由2acosB=bcosC+ccosB，及正弦定理得：sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB，
即sin（B+C）=2sinAcosB，
又A+B+C=π，所以sin（B+C）=sinA，
从而sinA=2sinAcosB，又0＜A＜π．
故cosB=$\frac{1}{2}$，
又0＜B＜π，
所以B=$\frac{π}{3}$．
（2）∵b=2，B=$\frac{π}{3}$，a+c=4①，
∴由余弦定理b²=a²+c²-2accosB，可得：4=a²+c²-ac=（a+c）²-3ac=16-3ac，可得：ac=4②，
∴①②联立解得：a=c=2．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．