Question

14．已知函数f（x）=x^a，的图象过点（4，2），令a_n=$\frac{1}{f（n+1）+f（n）}$，n∈N^*，记数列{a_n}的前n项和为S_n，则S₂₀₁₅=$\sqrt{2016}$-1．

Answer 1

分析 由2=4^α，解得α，可得$f（x）=\sqrt{x}$．因此a_n=$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$=$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$，n∈N^*，利用“累加求和”与“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：∵2=4^α，解得$α=\frac{1}{2}$．
∴$f（x）=\sqrt{x}$．
∴a_n=$\frac{1}{f（n+1）+f（n）}$=$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$=$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$，n∈N^*，
则S₂₀₁₅=$（\sqrt{2}-1）$+$（\sqrt{3}-\sqrt{2}）$+…+（$\sqrt{2016}-\sqrt{2015}$）
=$\sqrt{2016}$-1，
故答案为：$\sqrt{2016}$-1．

点评 本题考查了函数的解析式、“累加求和”与“裂项求和”方法，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．