Question

5．已知等差数列{a_n}满足：a₃=7，a₅+a₇=26，前n项和为S_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式及前n项和S_n；
（2）令${b_n}={3^n}•{a_n}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．
（2）${b_n}={3^n}•{a_n}$=（2n+1）•3ⁿ，利用“错位相减”法与等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，∵a₃=7，a₅+a₇=26，∴a₁+2d=7，2a₁+10d=26，
联立解得a₁=3，d=2．
∴a_n=3+2（n-1）=2n+1，
S_n=$\frac{n（3+2n+1）}{2}$=n²+2n．
（2）${b_n}={3^n}•{a_n}$=（2n+1）•3ⁿ．
∴数列{b_n}的前n项和T_n=3×3+5×3²+7×3³+…+（2n+1）•3ⁿ，
3T_n=3×3²+5×3³+…+（2n-1）•3ⁿ+（2n+1）•3ⁿ⁺¹，
∴-2T_n=9+2×（3²+3³+…+3ⁿ）-（2n+1）•3ⁿ⁺¹=3+2×$\frac{3（{3}^{n}-1）}{3-1}$-（2n+1）•3ⁿ⁺¹=-2n•3ⁿ⁺¹，
∴T_n=n•3ⁿ⁺¹．

点评 本题考查了等差数列与等比数列通项公式与求和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．