Question

19．过椭圆$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$内一点R（1，0）作动弦MN，则弦MN中点P的轨迹是（　　）

• A． 圆
• B． 椭圆
• C． 双曲线
• D． 抛物线

Answer 1

分析 设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（x，y），代入椭圆方程可得：$4x_1^2+9y_1^2=36$，$4x_2^2+9y_2^2=36$，
两式相减并将${x_1}+{x_2}=2x，{y_1}+{y_2}=2y，\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}=\frac{y}{x-1}$代入化简即可得出．

解答 解：设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（x，y），
代入椭圆方程可得：$4x_1^2+9y_1^2=36$，$4x_2^2+9y_2^2=36$，
两式相减得4（x₁+x₂）（x₁-x₂）+9（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
将${x_1}+{x_2}=2x，{y_1}+{y_2}=2y，\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}=\frac{y}{x-1}$代入可得：$\frac{（x-\frac{1}{2}）^{2}}{\frac{1}{4}}$+$\frac{{y}^{2}}{\frac{1}{9}}$=1．
其轨迹为椭圆，
故选：B．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、中点坐标公式、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．