Question

9．已知函数$f（x）=\frac{{{3^x}-1}}{{{3^x}+1}}$，
（Ⅰ）判断f（x）在R上的单调性，并加以证明；
（Ⅱ）当x∈[1，2]时，$f（ax-1）+f（\frac{1}{2x}）≤0$恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）化简函数的解析式，利用函数的单调性的定义证明即可．
（Ⅱ）判断函数的奇偶性，然后利用函数的单调性化简不等式求解即可．

解答 解：（Ⅰ）$f（x）=\frac{{{3^x}-1}}{{{3^x}+1}}=1-\frac{2}{{{3^x}+1}}$递增
证明：设x₁＜x₂∈R，则$f（{x_1}）-f（{x_2}）=-\frac{2}{{{3^{x_1}}+1}}+\frac{2}{{{3^{x_2}}+1}}=\frac{{2（{3^{x_1}}-{3^{x_2}}）}}{{（{3^{x_1}}+1）（{3^{x_2}}+1）}}＜0$，
所以f（x）在R上递增．
（Ⅱ）∵$f（-x）=\frac{{{{（\frac{1}{3}）}^x}-1}}{{{{（\frac{1}{3}）}^x}+1}}=\frac{{1-{3^x}}}{{1+{3^x}}}=-f（x）$，∴f（x）为奇函数．
∵$f（ax-1）+f（\frac{1}{2x}）≤0$，∴$f（\frac{1}{2x}）≤f（1-ax）$，∴$\frac{1}{2x}≤1-ax$
即$a≤-\frac{1}{{2{x^2}}}+\frac{1}{x}=-\frac{1}{2}{（\frac{1}{x}-1）^2}+\frac{1}{2}$，$\frac{1}{x}∈[\frac{1}{2}，1]$，
所以$a≤\frac{3}{8}$．

点评 本题考查函数的恒成立，函数的奇偶性以及函数的单调性的应用，考查计算能力．