已知极点与直角坐标系的原点重合.极轴与x轴的正半轴重合.圆C的极坐标方程是ρ=asinθ.直线l的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{3}{5}t+2}\\{y=\frac{4}{5}t}\end{array}\right.$．(1)若a=2.直线l与x轴的交点是M.N是圆C上一动点.求|MN|的最大值,(2)直线l被圆C截得的弦长等� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

18．已知极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，圆C的极坐标方程是ρ=asinθ，直线l的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{3}{5}t+2}\\{y=\frac{4}{5}t}\end{array}\right.$（t为参数）．
（1）若a=2，直线l与x轴的交点是M、N是圆C上一动点，求|MN|的最大值；
（2）直线l被圆C截得的弦长等于圆C的半径的$\sqrt{3}$倍，求a的值．

分析（1）首先，根据所给a的值，将圆的极坐标方程化为普通方程，将直线的参数方程化为直角坐标方程，然后，根据圆的性质，将所求的最值转化为到圆心的距离；
（2）首先，得到原点普通方程，然后，结合圆的弦长公式，建立关系式求解a的值即可．

解答解：（1）∵a=2，
∴圆C的极坐标方程是ρ=2sinθ，
∴ρ²=2ρsinθ，
∴x²+y²=2y，
∴x²+y²-2y=0，即x²+（y-1）²=1，
该圆的圆心为P（0，1），半径为r=1，
根据直线l的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{3}{5}t+2}\\{y=\frac{4}{5}t}\end{array}\right.$，得
4x+3y-8=0．
∴令y=0，得x=2，
∴M（2，0），
∵N是圆C上一动点，则|MN|的最大值为|MP|+r=$\sqrt{5}$+1，
（2）∵圆C的极坐标方程是ρ=asinθ，
∴ρ²=aρsinθ，
∴x²+y²=ay，
∴x²+（y-$\frac{a}{2}$）²=$\frac{{a}^{2}}{4}$，
该圆的圆心为P（0，$\frac{a}{2}$），半径为r=$\frac{|a|}{2}$，
圆心到直线的距离为d=$\frac{|3×（-\frac{a}{2}）-8|}{5}$
∴2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}=\sqrt{3}r$，
∴4（r²-d²）=3r²．
∴r²=4d²，
∴$\frac{{a}^{2}}{4}$=4×$\frac{1}{25}$（$\frac{3}{2}a$+8）²，
∴a=-$\frac{32}{11}$或a=-$\frac{352}{11}$．