Question

13．如图，半圆O的直径AB的长为4，C是半圆O上除A、B外的一个动点，DC垂直于半圆O所在的平面，DC∥EB，DC=EB，$sin∠{E}{A}{B}=\frac{{\sqrt{17}}}{17}$．
（1）证明：DE⊥平面ACD；
（2）当三棱锥C-ABD的体积最大时，求直线CE与平面ADE的夹角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）推导出BC⊥AC，CD⊥BC，DE∥BC，由此能证明DE⊥平面ACD．
（2）推导出DC=EB=1，三棱锥C-ABD的体积最大时，AC=BC=2$\sqrt{2}$，以C为原点，CA，CB，CD为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面DAE与平面ABE夹角的余弦值．

解答 证明：（1）∵半圆O的直径为AB，∴BC⊥AC，
∵CD⊥平面ABC，∴CD⊥BC，
∵CD∩AC=C，∴BC⊥平面ACD，
∵DC∥EB，DC=EB，∴BCDE是平行四边形，∴DE∥BC，
∴DE⊥平面ACD．
解：（2）∵$sin∠{E}{A}{B}=\frac{{\sqrt{17}}}{17}$，∴$\frac{BE}{\sqrt{{4}^{2}+E{B}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{17}}{17}$，
解得BE=1，∴CD=EB=1，
∵${V}_{C-ADE}={V}_{E-ACD}=\frac{1}{3}{S}_{△ACD}×DE$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×AC×CD$×DE
=$\frac{1}{6}×AC×BC$≤$\frac{1}{12}×（A{C}^{2}+B{C}^{2}）$
=$\frac{1}{12}×A{B}^{2}$=$\frac{4}{3}$，
当且仅当AC=BC=2$\sqrt{2}$时，等号成立，
以C为原点，CA，CB，CD为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则D（0，0，1），E（0，2$\sqrt{2}$，1），A（2$\sqrt{2}$，0，0），B（0，2$\sqrt{2}$，0），
∴$\overrightarrow{AB}$=（-2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$，0），$\overrightarrow{BE}$=（0，0，1），
$\overrightarrow{DA}$=（2$\sqrt{2}$，0，-1），$\overrightarrow{DE}$=（0，2$\sqrt{2}$，0），
设平面DAE的法向量$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{DE}=2\sqrt{2}y=0}\\{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{DA}=2\sqrt{2}x-z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{{n}_{1}}=（1，0，2\sqrt{2}）$，
设平面ABE的法向量为$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（x₁，y₁，z₁），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{2}}•\overrightarrow{BE}={{z}_{1}}^{\;}=0}\\{\overrightarrow{{n}_{2}}•\overrightarrow{AB}=-2\sqrt{2}{x}_{1}+2\sqrt{2}{y}_{1}=0}\end{array}\right.$，取x₁=1，得$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（1，1，0），
∴cos＜$\overrightarrow{{n}_{1}}，\overrightarrow{{n}_{2}}$＞=$\frac{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{{n}_{2}}}{|\overrightarrow{{n}_{1}}|•|\overrightarrow{{n}_{2}}|}$=$\frac{1}{\sqrt{2}•\sqrt{9}}$=$\frac{\sqrt{2}}{6}$．
∴平面DAE与平面ABE夹角的余弦值为$\frac{\sqrt{2}}{6}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查面面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．