Question

已知椭圆C：

x2

4

+y²=1的焦点为F₁，F₂，若点P在椭圆上，且满足|PO|²=|PF₁|•|PF₂|（其中O为坐标原点），则称点P为“★点”，那么该椭圆上“★点”的个数是

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设出椭圆上的点P（x₀，y₀），利用焦半径公式，表示出|PO|²=|PF₁|•|PF₂|，求出点的坐标，得出结论．

解答： 解：设椭圆上的点P（x₀，y₀），
则|PF₁|=2-ex₀，|PF₂|=2+ex₀；
又∵|PO|²=|PF₁|•|PF₂|，
∴x02+y02=4-e²x02，
又∵x02+y02=x02+（1-

x02

4

）=

3

4

x02+1，e=

3

2

；
∴

3

4

x02+1=4-

3

4

x02，
解得x₀=±

2

，
当x₀=

2

时，y₀=±

2

2

，
当x₀=-

2

时，y₀=±

2

2

；
∴满足条件的点有四个．
故答案为：4．

点评：本题考查了椭圆的新定义问题，解题时应利用焦半径列出方程，求出点的坐标，是基础题目．