Question

在长方体OABC-O₁A₁B₁C₁中，|OA|=2，|AB|=3，|AA₁|=2，E是BC的中点，建立空间直角坐标系，用向量方法解决下列问题．
（1）求直线AO₁与B₁E所成的角的余弦值；
（2）作O₁D⊥AC于D，求点O₁到点D的距离．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算,异面直线及其所成的角

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）以O为原点，OA为x轴，OC为y轴，OO₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AO₁与B₁E所成的角的余弦值．
（2）求出

AO1

=（-2，0，2），

AC

=（-2，3，0），由向量法得到点O₁到点D的距离d=|

AO1

|•

1-[cos＜ AO1 ， AC ＞]2

，由此能求出结果．

解答： 解：（1）以O为的点，OA为x轴，OC为y轴，OO₁为z轴，
建立空间直角坐标系，
∵在长方体OABC-O₁A₁B₁C₁中，|OA|=2，|AB|=3，|AA₁|=2，
E是BC的中点，
∴A（2，0，0），O₁（0，0，2），

AO1

=（-2，0，2），
B₁（2，3，2），E（1，3，0），

B1E

=（-1，0，-2），
∴|cos＜

AO1

，

B1E

＞|=|

2+0-4

8 • 5

|=

10

10

直线AO₁与B₁E所成的角的余弦值为

10

10

．
（2）A（2，0，0），O₁（0，0，2），C（0，3，0），

AO1

=（-2，0，2），

AC

=（-2，3，0），
∴点O₁到点D的距离d=|

AO1

|•

1-[cos＜ AO1 ， AC ＞]2

=2

2

•

1-( 4 2 2 × 13 )2

=

2 286

13

．

点评：本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间两点间距离的求法，是中档题，解题时要注意向量法的合理运用．