Question

设a为实数，函数f（x）=x²+x|x-a|，x∈R．当a＜0时，求f（x）在[-2，2]上的值域．

Answer 1

考点：函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：去掉绝对值，得到两段函数，对两段上求得的f（x）求解集，即可求得f（x）的值域．

解答： 解：（1）当x-a≥0，即x≥a时，函数f（x）=2x²-ax=2（x-

a

4

）²-

a2

2

，
①当

a

4

≤-2时，即a≤-8时，
∴函数f（x）在[-2，2]为增函数，
∴f（-2）≤f（x）≤f（2），
∴-8+2a≤f（x）≤8-2a，
即函数的值域为[-8+2a，8-2a]
②当

a

2

≤-2时，即-4≤a＜0时，函数f（x）在[-2，

a

2

]为减函数，在（

a

2

，2]为增函数，
∴当x=

a

2

时，函数有最小值，即f（x）_min=-

1

2

a2，当x=2时，有最大值，即f（x）_max=8-2a，
即函数的值域为[-

1

2

a2，8-2a]，
（2）当x-a＜0，即x＜a时，函数f（x）=ax，
∵a＜0，
∴函数在[-2，2]上为减函数，
∴当x=2函数有最小值，即f（x）_min=2a，x=-2时，有最大值，即f（x）_max=-2a，
即函数的值域为[2a，-2a]，

点评：考查求函绝对值函数的值域的求法，以及配方法求二次函数的值域．