Question

已知函数f（x）=x³-x²-x+a的图象与x轴仅有一个交点，则a的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：计算题,导数的综合应用,不等式的解法及应用

分析：求出导数，求出单调区间，求出极值，曲线f（x）与x轴仅有一个交点，可转化成f（x）_极大值＜0或f（x）_极小值＞0即可．

解答： 解：函数f（x）=x³-x²-x+a的导数为f′（x）=3x²-2x-1，
当x＞1或x＜-

1

3

时，f′（x）＞0，f（x）递增；
当-

1

3

＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）递减．
即有f（1）为极小值，f（-

1

3

）为极大值．
∵f（x）在（-∞，-

1

3

）上单调递增，
∴当x→-∞时，f（x）→-∞；
又f（x）在（1，+∞）单调递增，当x→+∞时，f（x）→+∞，
∴当f（x）_极大值＜0或f（x）_极小值＞0时，曲线f（x）与x轴仅有一个交点．
即a+

5

27

＜0或a-1＞0，
∴a∈（-∞，-

5

27

）∪（1，+∞）
故答案为：（-∞，-

5

27

）∪（1，+∞）．

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及函数的单调性，属于中档题．