Question

已知A（-2，0），B（2，0）为椭圆C的左、右顶点，F为其右焦点，P是椭圆C上异于A，B的动点，△APB面积的最大值为2

3

．
（I）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若直线AP的倾斜角为

3π

4

，且与椭圆在点B处的切线交于点D，试判断以BD为直径的圆与直线PF的位置关系，并加以证明．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由题意可设椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），F（c，0）．由题意知

1 2 •2a•b=2 3 a=2

，解得即可得出．
（II）以BD为直径的圆与直线PF相切．由题意可知，c=1，F（1，0），直线AP的方程为y=-x-2．则点D坐标为（2，-4），BD中点E的坐标为（2，-2），圆的半径r=2．直线AP的方程与椭圆的方程联立可得7x²+16x+4=0．可得点P的坐标．可得直线PF的方程为：4x-3y-4=0．利用点到直线的距离公式可得点E到直线PF的距离d．只要证明d=r．

解答： 解：（Ⅰ）由题意可设椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），F（c，0）．
由题意知

1 2 •2a•b=2 3 a=2

，解得b=

3

．
故椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）以BD为直径的圆与直线PF相切．
证明如下：由题意可知，c=1，F（1，0），直线AP的方程为y=-x-2．
则点D坐标为（2，-4），BD中点E的坐标为（2，-2），圆的半径r=2．
由

y=-x-2 x2 4 + y2 3 =1

得7x²+16x+4=0．
设点P的坐标为（x₀，y₀），则

x0=- 2 7 y0=- 12 7

．
∵点F坐标为（1，0），直线PF的斜率为

4

3

，直线PF的方程为：4x-3y-4=0．
点E到直线PF的距离d=

|8+6-4|

5

=2．
∴d=r．
 故以BD为直径的圆与直线PF相切．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得交点坐标、直线与圆相切的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．