Question

已知二次函数y=f（x），当x=2时函数取最小值-1，且f（1）+f（4）=3．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若g（x）=f（x）-kx在区间[1，4]上不单调，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质,函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由题意可以得到该二次函数的图象的顶点坐标为（2，-1），设解析式为y=a（x-2）²-1，结合f（1）+f（4）=3可得f（x）的解析式；
（2）若g（x）=f（x）-kx在区间[1，4]上不单调，则函数图象的对称轴x=

k+4

2

，满足1＜

k+4

2

＜4，解得实数k的取值范围．

解答： 解：（1）∵二次函数y=f（x），当x=2时函数取最小值-1，
∴二次函数的图象的顶点坐标为（2，-1），
设解析式为y=a（x-2）²-1，（a＞0），
∵f（1）+f（4）=a-1+4a-1=5a-2=3，
解得：a=1，
故y=（x-2）²-1=y=x²-4x+3；
（2）∵g（x）=f（x）-kx=x²-（k+4）x+3在区间[1，4]上不单调，
故1＜

k+4

2

＜4，
解得：-2＜k＜4，
即实数k的取值范围为（-2，4）

点评：本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，函数解析式的求法，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．