Question

16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若$sinA=cos（\frac{π}{2}-B）$，a=3，c=2，则cosC=$\frac{7}{9}$；△ABC的面积为2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由$sinA=cos（\frac{π}{2}-B）$=sinB，a=3，c=2，得b=a=3，由此能求出cosC，从而得到sinC，进而能求出△ABC的面积．

解答 解：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．
∵$sinA=cos（\frac{π}{2}-B）$=sinB，a=3，c=2，
∴b=a=3，
∴cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{9+9-4}{2×3×3}$=$\frac{14}{18}$=$\frac{7}{9}$，
∴sinC=$\sqrt{1-（\frac{7}{9}）^{2}}$=$\frac{4\sqrt{2}}{9}$，
∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}absinC$=$\frac{1}{2}×3×3×\frac{4\sqrt{2}}{9}$=2$\sqrt{2}$．
故答案为：$\frac{7}{9}$，$2\sqrt{2}$．

点评 本题考查三角形中角的余弦值和三角形面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意正弦定理、余弦定理、三角函数诱导公式的合理运用．