Question

8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 c²-b²=$\sqrt{3}$ab，sinA=2$\sqrt{3}$sinB，则角C=（　　）

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{3}$
• C． $\frac{2π}{3}$
• D． $\frac{5π}{6}$

Answer 1

分析 由已知及正弦定理可得：a=2$\sqrt{3}$b，又c²-b²=$\sqrt{3}$ab，可得：c²=b²+$\sqrt{3}$ab，从而利用余弦定理可得：cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，结合范围0＜C＜π，即可求C的值．

解答 解：∵sinA=2$\sqrt{3}$sinB，
∴由正弦定理可得：a=2$\sqrt{3}$b，
∵c²-b²=$\sqrt{3}$ab，可得：c²=b²+$\sqrt{3}$ab，
∴由余弦定理可得：cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{b}^{2}-\sqrt{3}ab}{2ab}$=$\frac{a-\sqrt{3}b}{2b}$=$\frac{2\sqrt{3}b-\sqrt{3}b}{2b}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵0＜C＜π，
∴C=$\frac{π}{6}$．
故选：A．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．