Question

4．已知△ABC中，D是△ABC外接圆劣弧$\widehat{AC}$上的点（不与点A，C重合），延长BD至E，且AD的延长线平分∠CDE．
（1）求证：AB=AC；
（2）若∠BAC=30°，△ABC中BC边上的高为4+2$\sqrt{3}$，求△ABC外接圆的面积．

Answer 1

分析 （1）连接CD，设F为AD延长线上一点，由四点共圆得∠CDF=∠ABC，由平行线性质得∠CDF=∠EDF，由此能证明AB=AC．
（2）设O为外接圆圆心，且半径为r，连接AO并延长交BC于H，则AH⊥BC．连接OC．由题意推导出$OH=\frac{{\sqrt{3}}}{2}r$，从而r=4，进而能求出外接圆面积．

解答 证明：（1）如图，连接CD，设F为AD延长线上一点，
∵A，B，C，D四点共圆，∴∠CDF=∠ABC．
又AD的延长线平分∠CDE，∴∠CDF=∠EDF，
又∵∠EDF=∠ADB且∠ADB=∠ACB，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC…（5分）
解：（2）设O为外接圆圆心，且半径为r，
连接AO并延长交BC于H，则AH⊥BC．
连接OC．由题意∠OAC=∠OCA=15°，∠ACB=75°，
∴∠OCH=60°，∴$OH=\frac{{\sqrt{3}}}{2}r$
则$r+\frac{{\sqrt{3}}}{2}r=4+2\sqrt{3}$，得r=4，
∴外接圆面积为16π．…（10分）

点评 本题考查线段相等的证明，考查外接圆面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的简单性质的合理运用．