Question

20．从双曲线$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{12}=1$的左焦点F引圆x²+y²=4的切线FP交双曲线右支于点P，T为切点，N为线段FP的中点，O为坐标原点，则|NO|-|NT|=2$\sqrt{3}$-2．

Answer 1

分析 求出双曲线的a，b，c，设F′是双曲线的右焦点，连接PF′．利用三角形的中位线定理和双曲线的定义可得：|ON|=$\frac{1}{2}$|PF′|=$\frac{1}{2}$（|PF|-2a）=$\frac{1}{2}$|PF|-2=|NF|-2，于是|ON|-|NT|=|NF|-|NT|-a=|FT|-a，连接OT，则OT⊥FT，在Rt△FOT中，|OF|=c，|OT|=a，运用勾股定理，即可得出结论．

解答 解：如图所示：
设F′是双曲线的右焦点，连接PF′．
双曲线$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{12}=1$的a=2，b=2$\sqrt{3}$，c=4，
∵点N，O分别为线段PF，FF′的中点，
由三角形中位线定理得到：
|ON|=$\frac{1}{2}$|PF′|=$\frac{1}{2}$（|PF|-2a）=$\frac{1}{2}$|PF|-2=|NF|-2，
∴|ON|-|NT|=|NF|-|NT|-2=|FT|-a，连接OT，
因为PT是圆的切线，则OT⊥FT，
在Rt△FOT中，|OF|=4，|OT|=2，
∴|FT|=$\sqrt{|OF{|}^{2}-|OT{|}^{2}}$=b=2$\sqrt{3}$．
∴|ON|-|NT|=b-a=2$\sqrt{3}$-2．
故答案为：2$\sqrt{3}$-2．

点评 本题考查双曲线的定义、方程和性质，以及圆的切线的性质，考查三角形的中位线定理，以及运算能力，属于中档题．