Question

已知直线y=kx+1和双曲线3x²-y²=1相交于两点A，B；
（1）求k的取值范围；
（2）若以AB为直径的圆恰好过原点，求k的值．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：直线与圆

分析：（1）把直线方程与双曲线的方程联立可得△＞0，解出即可．
（2）利用向量垂直与数量积的关系、根与系数的关系即可得出．

解答： 解：设交点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

y=ax+1 3x2-y2=1

消去y，得（3-a²）x²-2ax-2=0，
（1）由于直线与双曲线相交，∴

3-a2≠0 △=4a2+8(3-a2)＞0

∴a²＜6且a²≠3．
∴a的取值范围为-

6

＜a＜

6

，且a≠±

3

．
（2）由韦达定理，得x₁+x₂=

2a

3-a2

，①x1x2=

-2

3-a2

，②
∵以AB为直径的圆恰好过坐标系的原点，
∴

OA

⊥

OB

，
∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=0，
即x₁x₂+（ax₁+1）（ax₂+1）=0，整理得（a²+1）x₁x₂+a（x₁+x₂）+1=0③
将①②代入③，并化简得

1-a2

3-a2

=0，∴a=±1，
经检验，a=±1满足题目条件，
故存在实数a满足题目条件．

点评：本题考查了直线与双曲线相交转化为方程联立可得△＞0及根与系数的关系、圆的性质、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．