Question

已知椭圆的中心为原点，焦点在x轴上，离心率为

3

2

，且经过点M（4，1），直线l：y=x+m交椭圆于异于M的不同两点A，B．直线MA、MB与x轴分别交于点E、F．
（1）求椭圆标准方程；
（2）求m的取值范围；
（3）证明△MEF是等腰三角形．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，根据性质求解，（2）联立方程组得出5x²+8mx+4m²-20=0，
利用5x²+8mx+4m²-20=0求解即可．
（3）转化为k₁+k₂=

y1-1

x1-1

+

y2-1

x2-1

=

(y1-1)(x2-4)+(y2-1)(x1-4)

(x1-4)(x2-4)

=0根据韦达定理求解．

解答： 解：（1）设椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，因为e=

3

2

，所以a²=4b²，
又因为椭圆过点M（4，1），所以

16

a2

+

1

b2

=1，解得b²=5，a²=20，
故椭圆标准方程为  

x2

20

+

y2

5

=1，
（2）将y=x+m代入 

x2

20

+

y2

5

=1，
并整理得5x²+8mx+4m²-20=0，
令△=（8m）²-20（4m²-20）＞0，解得-5＜m＜5．
又由题设知直线不过M（4，1），所以4+m≠1m≠-3，
所以m的取值范围是 （-5，-3）∪（-3，5）．           
  （3）设直线AM，BM的斜率分别为k₁和k₂，
要证△MEF是等腰三角形，只要证明k₁+₂=0即可．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由（2）知
x₁+x₂=-

8m

5

，x₁x₂=

4m2-20

5

，
则k₁+k₂=

y1-1

x1-1

+

y2-1

x2-1

=

(y1-1)(x2-4)+(y2-1)(x1-4)

(x1-4)(x2-4)

即（y₁-1）（x₂-4）+（y₂-1）（x₁-4）=2x₁x₂+（m-5）（x₁+x₂）-8（m-1）
=

2(4m2-20)

5

-

8m(m-5)

5

-8（m-1）=0，
∴k₁+k₂=0，
所以△AM是等腰三角形．

点评：本题综合考察了直线与椭圆的位置关系，韦达定理的运用，属于难题．