Question

已知f（x）=

1-x

ax

+lnx（a为正实数）．
（1）若函数f（x）在[1，x）上为增函数，求a的取值范围；
（2）当a=1时，求函数f（x）在[

1

e

，e]上的最大值与最小值；
（3）当a=1时，求证：对于大于1的任意正整数n，都有lnn＞

1

2

+

1

3

+…+

1

n

．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）由题意可得f′（x）≥0对x∈[1，+∞）恒成立，解得即可；
（2）利用导数判断函数的单调性，进而求得最值；
（3）由（1）知：f（x）

1-x

x

+lnx在[1，+∞）上为增函数，可得lnx≥

x-1

x

，n≥2时，令x=

n

n-1

，即ln

n

n-1

＞

1

n

，即可得证．

解答： 解：（1）由已知：f′（x）=

ax-1

ax2

（a＞0），依题意得：

ax-1

ax2

≥0对x∈[1，+∞）恒成立．
∴ax-1≥0，x∈[1，+∞）恒成立
又a为正实数∴a-1≥0，即：a≥1
（2）∵a=1∴f（x）=

1-x

x

+lnx，f′（x）

x-1

x2

，
x∈（

1

e

，1）时，f′（x）＜0，f（x）在（

1

e

，1）上单调减，
x∈（1，e）时，f′（x）＞0，f（x）在（1，e）上单调增，
f（

1

e

）=e-2，f（1）=0，f（e）=

1

e

，
又f（

1

e

）＞f（e）
所以f（x）在[

1

e

，e]上的最大值为f（

1

e

）=e-2与最小值为f（1）=0
（3）∵a=1∴由（1）知：f（x）

1-x

x

+lnx在[1，+∞）上为增函数，
∴对任意x≥1时，f（x）≥f（1）=0，
∴lnx≥

x-1

x

∴n≥2时，令x=

n

n-1

，即ln

n

n-1

＞

1

n

lnn=ln

n

n-1

+ln

n-1

n-2

+…+ln

3

2

+ln

2

1

＞

1

n

+

1

n-1

+…+

1

3

+

1

2

即n≥2时，lnn＞

1

2

+

1

3

+…+

1

n

点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性、最值等知识，考查不等式的证明的转化思想的运用能力及运算求解能力，属于难题．