Question

已知双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F₁、F₂，且F₂恰为抛物线x=

1

4

y²的焦点，设双曲线C与该抛物线的一个交点为A，若△AF₁F₂是以AF₁为底边的等腰三角形，则双曲线C的离心率为

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：求出抛物线的焦点，可得c=1，即有双曲线的两焦点坐标，再由△AF₁F₂是以AF₁为底边的等腰三角形，结合抛物线的定义，可得A（1，2），再由双曲线的定义可得a，由离心率公式计算即可得到．

解答： 解：抛物线x=

1

4

y²的焦点为（1，0），
即双曲线的c=1，F₁（-1，0），F₂（1，0），
可设A（（m，n）（n＞0），
则△AF₁F₂是以AF₁为底边的等腰三角形，
则有AF₂=F₁F₂=2c=2，
又抛物线的准线方程为x=-1，
由抛物线的定义可得AF₂=m+1=2，
则m=1，n=2，A（1，2），
由双曲线的定义可得2a=AF₁-AF₂
=

22+22

-2，
即有a=

2

-1，
则离心率e=

c

a

=

1

2 -1

=1+

2

．
故答案为：1+

2

．

点评：本题考查抛物线和双曲线的定义、方程和性质，考查运算能力，用好抛物线和双曲线的定义是解题的关键．