Question

已知函数y=ax²+2x+1，当x∈[1，2]，总有y∈[1，4]则a的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：根据已知条件便有1≤ax²+2x+1≤4在x∈[1，2]上恒成立，从而a≤

-2x+3

x2

，且a≥

-2

x

恒成立，所以通过求导，判断出函数

-2x+3

x2

和

-2

x

在[1，2]上的单调性，根据单调性分别求这两个函数的最小值，最大值即可得出a的取值范围．

解答： 解：：∵y∈[1，4]
∴1≤ax²+2x+1≤4
 从而得到a≤

-2x+3

x2

，且a≥

-2

x

对于任意x∈[1，2]恒成立；
设f（x）=

-2x+3

x2

，g（x）=

-2

x

；
∴f′(x)=

-2(x2-2x+3)

x3

=

-2(x-1)2-4

x3

＜0，g′（x）=

2

x2

＞0；
∴f（x）在[1，2]上是减函数，f（x）在[1，2]上的最小值为f（2）=-

1

4

；
g（x）在[1，2]上是增函数，g（x）的最大值为g（2）=-1；
∴a≤-

1

4

，且a≥-1；
∴a的取值范围为[-1，-

1

4

]．
故答案为：[-1，-

1

4

]．

点评：考查函数定义、值域的概念，以及根据函数导数符号判断函数的单调性的方法，根据函数的单调性求函数的最值的方法．