Question

3．设双曲线的实轴长为2a（a＞0），一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB恰好与圆x²+y²=a²相切，那么双曲线的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{3}+1}{2}$

Answer 1

分析 可设双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a，b＞0），可得F（c，0），B（0，b），求得直线BF的方程，运用点到直线的距离公式，结合离心率公式可得e的方程，解方程可得离心率．

解答 解：可设双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a，b＞0），
可得F（c，0），B（0，b），
直线FB的方程为$\frac{x}{c}$+$\frac{y}{b}$=1，即bx+cy-bc=0，
直线FB恰好与圆x²+y²=a²相切，
可得原点到直线FB的距离恰好为实半轴长，
可得$\frac{|0-0-bc|}{\sqrt{{c}^{2}+{b}^{2}}}$=a，
即有b²c²=a²b²+a²c²，
即为（c²-a²）c²=a²（c²-a²）+a²c²，
化为c⁴-3a²c²+a⁴=0，
由e=$\frac{c}{a}$，可得e⁴-3e²+1=0，
解得e²=$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$或$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$（舍去），
即有e=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$．
故选：C．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用直线方程和点到直线的距离公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．