Question

6．我州某高中从高二年级甲、乙两个班种各选出7名学生参加2017年全国高中数学联赛（四川初赛），他们取得的成绩（满分140分）的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的中位数是81，乙班学生成绩的平均数是86，若正实数a、b满足：a，G，b成等差数列且x，G，y成等比数列，则$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$的最小值为（　　）

• A． $\frac{4}{9}$
• B． 2
• C． $\frac{9}{4}$
• D． 8

Answer 1

分析 由中位数和平均数的定义，可得x，y的值，再由等差数列和等比数列中项的性质，可得a+b=4，再由$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$=$\frac{1}{4}$（a+b）（$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$）=$\frac{1}{4}$（1+4+$\frac{b}{a}$+$\frac{4a}{b}$），运用基本不等式即可得到所求最小值．

解答 解：甲班学生成绩的中位数是80+x=81，得x=1；
由茎叶图可知乙班学生的总分为76+80×3+90×3+（0+2+y+1+3+6）=598+y，
又乙班学生的平均分是86，
总分又等于86×7=602．所以y=4，
若正实数a、b满足：a，G，b成等差数列且x，G，y成等比数列，
则xy=G²，2G=a+b，即有a+b=4，a＞0，b＞0，
则$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$=$\frac{1}{4}$（a+b）（$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$）=$\frac{1}{4}$（1+4+$\frac{b}{a}$+$\frac{4a}{b}$）≥$\frac{1}{4}$（5+2$\sqrt{\frac{b}{a}•\frac{4a}{b}}$）=$\frac{1}{4}$×9=$\frac{9}{4}$，
当且仅当b=2a=$\frac{8}{3}$时，则$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$的最小值为$\frac{9}{4}$．
故选：C．

点评 本题考查基本不等式的运用：求最值，考查等差数列和等比数列的中项的性质，同时考查中位数和平均数的定义，以及运算能力，属于中档题．