Question

5．如图所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC是等腰直角三角形，且斜边AB=2$\sqrt{2}$，侧棱AA₁=4，点D为AB的中点，点E在线段AA₁上，AE=λAA₁（λ∈R）．
（1）求证：不论λ取何值时，恒有CD⊥B₁E；
（2）当λ为何值时，B₁E⊥面CDE．

Answer 1

分析 （1）只需证明CD⊥平面ABB₁A₁即可得出结论；
（2）B₁E⊥ED时，B₁E⊥面CDE，此时，△AED∽△A₁B₁E，即可得出结论．

解答 证明：（1）∵AC=BC，点 D 为 AC 的中点，
∴CD⊥AB，
∵AA₁⊥平面 ABC，CD?平面 ABC，
∴AA₁⊥CD，
又AA₁?平面ABB₁A₁，AB?平面ABB₁A₁，AA₁∩AB=A，
∴CD⊥平面ABB₁A₁，
又B₁E?平面ABB₁A₁，
∴CD⊥B₁E．
（2）由题意，CD⊥平面A₁B，B₁E?平面A₁B，∴B₁E⊥CD，
B₁E⊥ED时，B₁E⊥面CDE，此时，△AED∽△A₁B₁E，
∴$\frac{{A}_{1}E}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{AE}$，∴A₁E•AE=8，
∴4λ•（8-4λ）=8，
∴λ=1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．