题目内容
已知函数f（x）=sin
+
cos
，x∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期，并求函数f（x）的单调递增区间；
（2）函数y=sinx（x∈R）的图象经过怎样的平移和伸缩变换可以得到函数f（x）的图象．
| x |
| 2 |
| 3 |
| x |
| 2 |
（1）求函数f（x）的最小正周期，并求函数f（x）的单调递增区间；
（2）函数y=sinx（x∈R）的图象经过怎样的平移和伸缩变换可以得到函数f（x）的图象．
考点：三角函数中的恒等变换应用,平面向量数量积的运算,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
专题：三角函数的图像与性质
分析：（1）利用两角和的正弦公式化简f（x），求出f（x）的最小正周期T以及单调递增区间；
（2）平移函数y=sinx的图象，得到函数y=sin（x+
）的图象，再得函数y=sin（
+
）的图象，然后得函数y=2sin（
+
）的图象．
（2）平移函数y=sinx的图象，得到函数y=sin（x+
| π |
| 3 |
| x |
| 2 |
| π |
| 3 |
| x |
| 2 |
| π |
| 3 |
解答：
解：（1）∵f（x）=sin
+
cos
=2sin（
+
），x∈R；
∴函数f（x）的最小正周期T=
=4π；
令z=
+
，函数y=sinz的单调递增区间是[-
+2kπ，
+2kπ]，（k∈Z）；
由-
+2kπ≤
+
≤
+2kπ，
得-
+4kπ≤x≤
+4kπ，k∈Z；
∴f（x）的单调递增区间为[-
+4kπ，
+4π]，（k∈Z）；
（2）把函数y=sinx图象向左平移
个单位，得到函数y=sin（x+
）的图象；
再把函数y=sin（x+
）的图象上每个点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=sin（
+
）的图象；
然后再把每个点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变，得到函数y=2sin（
+
）的图象．
| x |
| 2 |
| 3 |
| x |
| 2 |
| x |
| 2 |
| π |
| 3 |
∴函数f（x）的最小正周期T=
| 2π | ||
|
令z=
| x |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
由-
| π |
| 2 |
| x |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
得-
| 5π |
| 3 |
| π |
| 3 |
∴f（x）的单调递增区间为[-
| 5π |
| 3 |
| π |
| 3 |
（2）把函数y=sinx图象向左平移
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
再把函数y=sin（x+
| π |
| 3 |
| x |
| 2 |
| π |
| 3 |
然后再把每个点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变，得到函数y=2sin（
| x |
| 2 |
| π |
| 3 |
点评：本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了三角恒等变换问题和三角函数的图象平移问题，是中档题．
练习册系列答案
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