题目内容
如图所示，Rt△BMC中，斜边BM=5，它在平面ABC上的射影AB长为4，∠MBC=60°，求：（1）BC⊥平面MAC；
（2）MC与平面CAB所成角的正弦值．
考点：直线与平面所成的角,直线与平面垂直的判定
专题：空间位置关系与距离
分析：（1）由已知得BC⊥MC，MA⊥平面ABC，从而BC⊥MA，由此能求出BC⊥平面MAC．
（2）由MA⊥平面ABC，知∠MCA是MC与平面CAB所成角，由此能求出MC与平面CAB所成角的正弦值．
（2）由MA⊥平面ABC，知∠MCA是MC与平面CAB所成角，由此能求出MC与平面CAB所成角的正弦值．
解答：
解：（1）∵Rt△BMC中，斜边BM=5，
∴BC⊥MC，
∵BM在平面ABC上的射影AB长为4，
∴MA⊥平面ABC，又BC?平面ABC，
∴BC⊥MA，
又MA∩MC=M，
∴BC⊥平面MAC．
（2）∵MA⊥平面ABC，∴∠MCA是MC与平面CAB所成角，
∵BM=5，AB=4，∠MBC=60°，
∴MA=3，BC=
，MC=
，
∴sin∠MCA=
=
=
．
∴MC与平面CAB所成角的正弦值为
．
∴BC⊥MC，
∵BM在平面ABC上的射影AB长为4，
∴MA⊥平面ABC，又BC?平面ABC，
∴BC⊥MA，
又MA∩MC=M，
∴BC⊥平面MAC．
（2）∵MA⊥平面ABC，∴∠MCA是MC与平面CAB所成角，
∵BM=5，AB=4，∠MBC=60°，
∴MA=3，BC=
| 5 |
| 2 |
| 5 |
| 2 |
| 3 |
∴sin∠MCA=
| MA |
| MC |
| 3 | ||||
|
2
| ||
| 5 |
∴MC与平面CAB所成角的正弦值为
2
| ||
| 5 |
点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
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