题目内容
如图，在直三棱柱ABC=A1B1C1中，∠ACB=90°，E，F，D分别是AA1，AC，BB1的中点，且CD⊥C1D．（Ⅰ）求证：CD∥平面BEF；
（Ⅱ）求证：平面BEF⊥平面A1C1D．
考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定
专题：空间位置关系与距离
分析：（Ⅰ）连结AD，交BE于点M，连结FM，由已知得四边形ABDE为平行四边形，由此能证明CD∥平面BEF．
（Ⅱ）由已知得∠ACB=90°，从而A1C1⊥面BC1，进而A1C1⊥CD，又CD⊥C1D，从而CD⊥平面A1C1D，由此能证明平面BEF⊥平面A1C1D．
（Ⅱ）由已知得∠ACB=90°，从而A1C1⊥面BC1，进而A1C1⊥CD，又CD⊥C1D，从而CD⊥平面A1C1D，由此能证明平面BEF⊥平面A1C1D．
解答：
证明：（Ⅰ）连结AD，交BE于点M，连结FM，
∵E，D分别为棱的中点，
∴四边形ABDE为平行四边形，
∴点M为BE的中点，而F为AC中点，
∴FM∥CD，
∵CD不包含于面BEF，FM?平面BEF，
∴CD∥平面BEF．
（Ⅱ）∵三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，∠ACB=90°，
∴A1C1⊥面BC1，而CD?面BC1，
∴A1C1⊥CD，又∵CD⊥C1D，
∴CD⊥平面A1C1D．
由（1）知FM∥CD，∴FM⊥面A1C1D，
而FM?面BEF，∴平面BEF⊥平面A1C1D．
∵E，D分别为棱的中点，
∴四边形ABDE为平行四边形，
∴点M为BE的中点，而F为AC中点，
∴FM∥CD，
∵CD不包含于面BEF，FM?平面BEF，
∴CD∥平面BEF．
（Ⅱ）∵三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，∠ACB=90°，
∴A1C1⊥面BC1，而CD?面BC1，
∴A1C1⊥CD，又∵CD⊥C1D，
∴CD⊥平面A1C1D．
由（1）知FM∥CD，∴FM⊥面A1C1D，
而FM?面BEF，∴平面BEF⊥平面A1C1D．
点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查平面与平面垂直的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
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