Question

已知函数f（x）=2x+3，g（x）=3x-k（k∈R）．
（1）如果f（g（x））=g（f（x））恒成立，求k值，并求函数h（x）=f（x）+

g(x)

的值域；
（2）若k=-4，实数a满足f（a²）=g（a²-a），求a

3

2

-a-

3

2

的值．

Answer 1

考点：函数的值域

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）分别求出f（g（x）），g（f（x）），带入f（g（x））=g（f（x））即可求出k的值，从而求出h（x），通过求h′（x），根据h′（x）的符号，即可判断函数h（x）在定义域上的单调性，根据单调性即可求值域；
（2）求出g（x），根据f（a²）=f（a²-a）即可求出a，并得到

1

a

=3-a，用立方差公式将a

3

2

-a-

3

2

写成因式乘积的形式，用上条件

1

a

=3-a并带入a的值即可求出a

3

2

-a-

3

2

的值．

解答： 解：（1）由f（g（x））=g（f（x））得：
2（3x-k）+3=3（2x+3）-k
∴k=-6，
∴g（x）=3x+6；
∴h（x）=2x+3+

3x+6

，x≥-2；
h′（x）=2+

3

2 3x+6

＞0，
∴函数h（x）在[-2，+∞）上为增函数；
∴h（x）≥h（-2）=-1，
∴h（x）的值域为[-1，+∞）．
（2）g（x）=3x+4，
由f（a²）=g（a²-a）得：
2a²+3=3（a²-a）+4
∴a²-3a+1=0；
∴a=

3± 5

2

，a(3-a)=1，

1

a

=3-a；
∴a

3

2

-a-

3

2

=(

a

-

1

a

)(a+

1

a

+1)=4(

a

-

3-a

)；
若a=

3+ 5

2

=

1

4

•(1+

5

)2，3-a=

3- 5

2

=

1

4

(1-

5

)2，原式=2（1+

5

-

5

+1）=4；
若a=

3- 5

2

=

1

4

(1-

5

)2，3-a=

3+ 5

2

=

1

4

(1+

5

)2，原式=2（

5

-1-1-

5

）=-4．

点评：本题考查求函数的解析式，根据导数符号判断单调性，根据单调性求函数的值域，而求解第二问的关键是得到

1

a

=3-a，并在求值中利用上该等式．