Question

设a，b，c分别为一个三角形三边的边长，证明a²b（a-b）+b²c（b-c）+c²a（c-a）≥0，并指出等号成立的条件．

Answer 1

考点：不等式的证明

专题：证明题

分析：不妨设a≥b≥c，此时

1

a

≤

1

b

≤

1

c

，利用a（b+c-a）≤b（c+a-b）≤c（a+b-c），由排序不等式可得

1

c

•a（b+c-a）+

1

a

•b（c+a-b）+

1

b

•c（a+b-c）≤

1

a

•a（b+c-a）+

1

b

•b（c+a-b）+

1

c

•c（a+b-c）=a+b+c，重新分组整理，即可证得结论．

解答： 证明：不妨设a≥b≥c，此时

1

a

≤

1

b

≤

1

c

，
∵a（b+c-a）≤b（c+a-b）≤c（a+b-c），
于是由排序不等式可得：

1

c

•a（b+c-a）+

1

a

•b（c+a-b）+

1

b

•c（a+b-c）≤

1

a

•a（b+c-a）+

1

b

•b（c+a-b）+

1

c

•c（a+b-c）=a+b+c，
∴

1

c

•a[（b-a）+c]+

1

a

•b[（c-b）+a]+

1

b

•c[（a-c）+b]≤a+b+c，
即

1

c

•a（b-a）+

1

a

•b（c-b）+

1

b

•c（a-c）≤0，同乘abc得，
a²b（b-a）+b²c（c-b）+c²a（a-c）≤0，
∴a²b（a-b）+b²c（b-c）+c²a（c-a）≥0，
上式当且仅当

1

a

=

1

b

=

1

c

或者a（b+c-a）=b（c+a-b）=c（a+b-c），即a=b=c时取等号．

点评：本题考查不等式的证明，着重考查排序不等式的应用，考查等价转化思想与与创新思维、抽象思维、推理证明的能力，属于难题．