Question

设f（x）=

x2+x+a

x+1

，x∈[0，+∞）．
（1）当a=2时，求f（x）的最小值；
（2）当0＜a＜1时，求f（x）的最小值．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）将函数变形，利用基本不等式的性质即可求出，（2）通过求导得出函数在定义域上单调递增，所以f（0）最小，求出即可．

解答： 解：（1）a=2时，
f（x）=

x2+x+2

x+1

=x+1+

2

x+1

-1，
≥2

2

-1，当且仅当x=

2

-1时，等号成立，
∴f（x）的最小值为：2

2

-1．
（2）0＜a＜1时：
f′（x）=

(2x+1)(x+1)-(x2+x+a)

(x+1)2

=

(x+1)2-a

(x+1)2

＞0，
∴f（x）在[0，+∞）单调递增，
f（x）_min=f（0）=a．

点评：本题考察了函数的最值问题，基本不等式的性质，导数的应用，是一道基础题．